EQUAÇÃO DO 1ª GRAU

Equação - Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais variáveis (valores desconhecidos). 

São exemplos de equações as seguintes igualdades:



Equações do 1º Grau

Definição: Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números, é denominada equação. Cada letra que representa este número desconhecido é chamada de variável ou incógnita.

Numa equação existem dois membros e cada membro é constituído por termos.

Exemplo: Na equação, 3x +2 = 5 −x temos:

O símbolo = separa os membros ; Os símbolos =, + e – separam os termos.

1º membro: 3x + 2
2º membro: 5 − x
Incógnita: x

Termos: 3x , 2 , 5 e − x
Termos com incógnita: 3x e − x
Termos independentes: 2 e 5

Exercício 1. Considera a equação, x + 5 = 7 Indica: 

1) a incógnita; 
2) o 1º membro;
3) o 2º membro;
4) os termos independentes;
5) os termos com incógnita.

Exercício 2. Considera a equação, 2x + 5 = 7 − 3x + 2 Indica: 

1) a incógnita;
2) o 1º membro;
3) o 2º membro;
4) os termos independentes;
5) os termos com incógnita.

Exercício 3. Considera a equação, 3x + 5 − x = 4x − 5 − x Indica: 

1) a incógnita;
2) o 1º membro;
3) o 2º membro;
4) os termos independentes;
5) os termos com incógnita.

A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos problemas. Vejamos:

EXEMPLO 1

Dois pacotes juntos pesam 22 kg . Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor?

Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas usando a álgebra. Nesse caso, temos:

pacote menor = x
pacote maior = x + 6
Onde x representa o peso do pacote menor.

Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22

Efetuando as devidas equações:

x + (x + 6) = 22  Eliminar os parênteses
x + x + 6 = 22  Somar os termos semelhantes
2x + 6 = 22
2x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros
2x = 16
2x/2 = 16/2 Efetuar uma divisão por 2, nos dois membros

x = 8 Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg e do pacote maior é de 8 + 6 = 14 kg .

EXEMPLO 2

Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número.

Um número: x
Quádruplo do número: 4x
Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6

Resolução:

4x + 9 = x + 6
4x - x = 6 - 9 passar + 9 para o segundo membro (fica-9) e + x para o primeiro membro (fica - x).
3x = - 3 como a operação inversa de :3 é x3,temos: x = - 3/3

x = - 1 Portanto, o número procurado é -1.

A verificação da solução

A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja:

4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1
4 (-1) + 9 = (- 1) + 6
- 4 + 9 = - 1 + 6
5 = 5

Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x - 9 = x – 6 verdadeira.Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o que acontece.

A raiz de uma equação

A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação.

x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6


EXEMPLO 3

Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?

Equacionando o problema:

Preço da cadeira: x

Preço da estante: 3x
Equação correspondente: x + 3x = 64

Resolução:

x + 3x = 64
4x = 64 _ x = 64/4 = 16 _ x = 16

Verificação da raiz:

16 + 3 . 16 = 64
16 + 48 = 64
64 = 64

A estante custa R$ 48,00.

Exercícios

1) Resolva as equações:

a) 4x + 8 = 3x - 5
b) 3a - 4 = a + 1
c) 9y - 11 = - 2
d) 5x - 1 = 8x + 5

2) Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x - 1

3) Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2x - 3 = 16

4) Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova?

5 )Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?

6) Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?

7)  Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?

8) Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?

9) Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?

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EXERCÍCIOS CONJUNTOS

1) Numa escola de apenas 800 alunos, é sabido que 200 gostam de pagode; 300 de rock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock?

a) 430

b) 560

c) 670

d) 730

e) 800

Resolução 

2) Uma pesquisa entre 800 consumidores - sendo 400 homens e 400 mulheres - mostrou os seguintes resultados: 500 assinam o jornal X; 350 tem curso superior; 250 assinam o jornal X e tem curso superior do total de mulheres entrevistadas: 200 assinam o jornal X; 150 tem curso superior; 50 assinam o jornal X e tem curso superior o número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não tem curso superior é, portanto, igual a:

a) 50

b) 200

c) 25

d) 0

e) 100

Resolução 

3) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é:

a) 42

b) 43

c) 45

d) 48

e) 49

Resolução 

4) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a interseção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y - (3x + 3) é igual a:

a) - 28

b) -19

c) 32

d) 6

e) 0

Resolução 

5) Uma cidade tem 50000 habitantes e 3 jornais A, B, C. Sabe-se que:

15000 leem o jornal A

10000 leem o jornal B

8000 leem o jornal C

6000 leem os jornais A e B

4000 leem os jornais A e C

3000 leem os jornais B e C

1000 leem os três jornais

Uma Pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de

a) ela leia pelo menos um jornal

b) leia só um jornal

Resolução 

6) Num grupo de 198 alunos : 80 jogam vôlei, 68 jogam basquete 70 jogam futebol, 40 jogam vôlei e basquete , 44 jogam basquete futebol 36 jogam vôlei e futebol e 22 jogam as três modalidades quantos alunos não praticam nenhum deses esportes?

Resolução 

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EXERCÍCIOS MÉDIA ARITMÉTICA

1) (PROFMAT) Considere três números a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b e c é 15. O valor de c é:

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 15

Resolução

2) Calcule a média aritmética dos números 2,5,7 e 3.

Resolução

3) A média aritmética de cinco inteiros consecutivos é M. A média aritmética de cinco inteiros consecutivos, em ordem crescente, começando em M é.

a) M-1

b) M

c) M+1

d) M+2

e) M+3

Resolução

4) (FGV) Ao conjunto {2, 5, 9, 11, 14, 15} é acrescentado um sétimo número inteiro N, diferente daqueles já existentes, de tal modo que no novo conjunto de números a média e a mediana são iguais. A soma dos possíveis valores de N é 

a) 25 

b) 28 

c) 35 

d) 38 

e) 45 

Resolução

5) (FGV 2013) A soma de 27 números inteiros consecutivos é igual a . A média e a mediana desses números são, respectivamente. 

Resolução

6) (IBF 2008 Assistente Jurídico) Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média dos noves números, a média aritmética dos cincos maiores é de 68 e a média dos 5 menores é de 44. A soma de todos os números é:

a)504

b)500

c)112

d)56

Resolução

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REGRA DE TRÊS

Regra de três é o processo destinado a resolver problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Assim, se em um dado problema temos grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, podemos utilizar regra de três simples ou composta para resolver o problema dado.

Se temos três valores e queremos encontrar um deles, usamos a regra de três simples para encontrar esse valor desconhecido.

Se temos mais de três valores, usamos a regra de três composta para encontrar o valor desconhecido do problema.

A regra de três composta você pode achar bem mais difícil de compreender, mas não é tão difícil assim. O processo para resolver é o mesmo da regra de três simples, quebrando o problema em várias partes e analisando separadamente em relação a incógnita, isto é, o valor que queremos achar e verificar se é diretamente ou inversamente proporcional.

Muito comum em problemas do cotidiano, no segundo grau, em concursos, ENEM e vestibulares, você pode encontrar problemas que podem ser resolvidos com esse método.

Acesse as seções abaixo e veja o passo-a-passo para resolver problemas envolvendo regra de três simples e composta.

Regra de Três Simples

Regra de três simples permite encontrar um quarto valor que não conhecemos em um problema, dos quais conhecemos apenas três deles. Assim, encontraremos o valor desconhecido a partir dos três já conhecidos.

Veja os passos para montar o problema e resolver facilmente:

Crie uma tabela e agrupe as grandezas da mesa espécie na mesma coluna.

Identificar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais, analisaremos isso no próximo passo.

Montar a equação assim: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em forma de X. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos os valores para ficarem diretamente proporcional.

Resolva a equação.

Regra de três simples direta:

Quando temos duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação de um deles é semelhante a variação no outro, aumentando ou diminuindo.

Exemplo:

Exercícios resolvidos de regra de três simples direta:

1) Para se construir um muro de 17m² são necessários 3 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 51m²?

a) 6

b) 8

c) 9

d) 10

e) 12

Há duas grandezas envolvidas (área do muro e número de trabalhadores) e temos três valores conhecidos; portanto, trata-se de um problema de regra de três simples.

Precisamos encontrar o número de trabalhadores para construir 51 m². Para isso, vamos armar o problema para descobrir se temos uma regra de três simples direta ou inversa:

Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna. 

         Área                   Nº de trabalhadores 

      

         17 m²                           3

         51 m²                           X

Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima. Colocaremos na outra grandeza uma seta de mesmo sentido, caso as grandezas sejam diretamente proporcionais, ou uma seta de sentido contrário, se as grandezas forem inversamente proporcionais.

Perceba que a outra seta terá o mesmo sentido, já que as grandezas são diretamente proporcionais (se aumentarmos a área do muro, devemos aumentar o número de trabalhadores):

Como se trata de uma regra de três simples direta, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em X, assim:

Logo, montando a equação:

Portanto, serão necessários 9 trabalhadores para construir um muro de 51m².

Resposta: C

Regra de três simples inversa:

Quando temos duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando a variação de uma delas é contrária a variação no outro, quando um aumenta o outro diminui e vice-versa.

Exemplo:

Exercícios resolvidos de regra de três simples inversa:

2) Um automóvel com velocidade de 80 km/h gasta 15 minutos em certo percurso. Se a velocidade for reduzida para 60 km/h, que tempo, em minutos, será gasto no mesmo percurso?

a) 10

b) 12

c) 18

d) 20

e) 24

Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna. 

Velocidade             Tempo 

80 km/h                15 min.

60 km/h                X min.

Inicialmente, vamos colocar uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima.

Temos uma regra de três simples inversa, a seta terá sentido contrário (se diminuímos a velocidade, o tempo do percurso aumenta).

Como se trata de uma regra de três simples inversa, devemos inverter os valores no sentido da seta, assim transformamos em uma regra de três simples direta e então podemos multiplicar em cruz (em X):

Logo, montando a equação:

Portanto, será gasto um tempo de 20 minutos para fazer o mesmo percurso a 60 quilômetro por hora.

Resposta: D

Regra de Três Composta

Regra de três composta, na matemática, é a forma de encontrar um valor desconhecido quando conhecemos três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Exemplos de regra de três composta:

Exercícios resolvidos de regra três composta

1) Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?

a) 20

b) 18

c) 15

d) 10

e) 8

Solução: monte a tabela e agrupe as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.

Impressoras   Horas/Dia       Dias          Folhas

3                     10                4            240.000

2                      X                 6            480.000

Perceba que se trata de um problema que envolve regra de três composta, pois temos mais de três grandezas conhecidas. Vamos resolver esse problema de regra de três composta, analisando cada grandeza relativamente à grandeza onde está o X. Assim, para resolver regra de três composta você deve reduzir o problema em várias regra de três simples. Se você não sabe com resolver regra de três simples, acesse a seção aqui no site.

Perceba que se trata de um problema que envolve regra de três composta, pois temos mais de três grandezas conhecidas. Vamos resolver esse problema de regra de três composta, analisando cada grandeza relativamente à grandeza onde está o X. Assim, para resolver regra de três composta você deve reduzir o problema em várias regra de três simples. Se você não sabe com resolver regra de três simples, acesse a seção aqui no site.

Analisemos, inicialmente, a grandeza impressoras com horas/dia que é onde se encontra a incógnita, isto é, o X.

Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima. Vamos analisar a outra parte.

Inversa: se diminuímos o número de impressoras, precisamos aumentar a carga horária de trabalho. Assim, coloquemos uma seta contrária, isto é, para baixo.

Agora vamos analisar a grandeza dias com horas/dia, onde está o X.

Inversa: se aumentamos o número de dias de trabalho, podemos diminuir a carga horária de trabalho. Assim, também coloquemos uma seta contrária, isto é, para baixo.

Por último, vamos analisar a grandeza folhas com horas/dia, onde está o X.

Direta: se aumentamos a quantidade de trabalho a ser feito, precisamos aumentar a carga horária de trabalho. Então, neste caso, coloquemos uma seta na mesma direção do X, isto é, para cima.

Juntando tudo, temos:

Então, sempre respeitando o sentido das setas, ou seja, quando for inversa (seta vermelha) invertemos os valores (denominador, parte de baixo, vai para o numerador, parte de cima) e quando for direta deixa como está. Esse processo foi ensinado em regra de três simples, vale também para regra de três composta.

Agora, para resolver, vamos isolar a grandeza que possui a incógnita, isto é, o X, para formarmos a equação. Veja:

Como pode ver, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto é, em X; o que está depois da igualdade multiplicamos em linha. Assim, temos a seguinte equação:

Logo, as máquinas restantes devem funcionar 20 horas/dia para produzir 480.000 folhas em 6 dias.

Resposta: A

Exemplo:

2) 24 operários fazem 2/5 (dois quinto) de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia?

a) 8

b) 11

c) 12

d) 21

e) 18

24 operários …. 2/5 trabalho …. 10 dias …. 7 horas/dia

Como já foram feitos 2/5 do trabalho, ou seja, 2 partes de uma tarefa dividida em 5 partes, restam concluir 3 dessas partes.

Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.

Operários      Partes do Trabalho             Dias                   Horas/Dia

  24                           2                         10                         7

  20                           3                          X                          6

Coloquemos inicialmente uma seta contrário ao X, isto é, para cima.

Analisando cada grandeza em relação ao X.

Vamos analisar a grandeza operários em relação ao X.

Inversa: diminuindo o número de operários a quantidade de dias aumenta.

Agora, vamos ver como se comporta as partes do trabalho em relação ao X.

Direta: aumentando o trabalho a quantidade de dias aumenta.

Vejamos agora, a jornada diária (horas/dia) em relação ao X.

inversa: diminuindo a jornada diária a quantidade de dias aumenta.

Juntando tudo, temos:

Respeitando o sentido das setas e invertendo as grandezas inversamente proporcionais, ou seja, as setas para baixo (vermelha). O objetivo é transformar as grandezas em diretamente proporcionais. Como ficou diretamente proporcional, colocamos as setas tudo numa só direção (seta azul, para cima, diretamente proporcional). Fica assim:

Isolando a incógnita, isto é, a grandeza onde tem o X. Relembrando, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto é, em X; o que está depois da igualdade multiplicamos em linha. Seguindo o sentido das setas.

Resolvendo a equação:

Logo, a obra será terminada em 21 dias com 20 operários trabalhando 6 horas/dia.

Resposta: D

FONTE:http://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-composta.html EM 09/06/2016

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