quinta-feira, 30 de junho de 2016
domingo, 26 de junho de 2016
ARRANJO SIMPLES
Num conjunto de A com n elementos, são arranjos simples todos os grupos formados por p dos n elementos com p < ou igual a n, diferindo entre si pela ordem ou natureza dos elementos.
Notação:
An,p onde:
n: número total de elementos
p: número de elementos em cada grupo
Se partimos do princípio fundamental da contagem, teremos An,p = n.(n - 1).(n - 2)...(n - p + 1), considerando um arranjo de p fatores.
Se multiplicarmos a expressão por 
, obtemos:
, obtemos:
An,p = n.(n - 1).(n - 2)...(n - p + 1).
Decompondo o fatorial, temos:
An,p = n.(n - 1).(n - 2)...(n - p + 1).
Ora, n.(n - 1).(n - 2)...(n - p + 1).(n - p).....3.2.1, nada é do que n!, por isso podemos escrever a equação também sob a forma 
Portanto, para determinarmos quantos arranjos simples poderão ser formados a parti de um conjunto de n elementos todos tomados p a p, utilizamos a fórmula:
PERMUTAÇÃO SIMPLES
A permutação é um arranjo de ordem máxima, ou seja, faz uso de todos os elementos do conjunto(p = n!). desta forma, temos:
Onde Pn é o número total de permutações simples de n elementos distintos.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
É a permutação onde aparece elementos repetidos. se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudança na posição.
EXERCÍCIOS DIFERENÇA DE QUADRADOS
terça-feira, 21 de junho de 2016
sexta-feira, 17 de junho de 2016
PROBLEMAS DO 1ª GRAU NÍVEL 1
1) A soma de três múltiplos consecutivos de 7 é 210. A soma dos valores absolutos dos algarismo do maior destes números é?
Resolução
8) César tem 15 lápis a mais que Beto, e José tem 12 lápis a menos que Beto. O total de lápis é 63. Quantos lápis tem Beto?
Resolução
9) A soma de dois números consecutivos é 31. Quais são esses números?
Resolução
10) A soma de dois números consecutivos é -63. Quais são esses números?
2) Qual o número que somado com o seu triplo dá -600?
Resolução
3) Numa partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 143 pontos. A Equipe A fez o dobro de pontos, menos 7, que a equipe B. Quantos pontos a equipe a marcou?
Resolução
4)Em um estacionamento há carros e motos, totalizando 85. O número de carros é igual a 4 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?
Resolução
5) Lúcia é 5 anos mais velha que Claúdia. A soma das idades de ambas é 43 anos. Qual é a idade de Claúdia?
Resolução
6) Quando Pedro nasceu, Guilherme tinha 3 anos. Atualmente a soma das idades é 23 anos. Qual é a idade de Guilherme?
Resolução
7) O perímetro de um retângulo mede 92 cm, Quais são as medidas, sabendo-se que o comprimento tem 8 cm a mais que a largura?
Resolução3) Numa partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 143 pontos. A Equipe A fez o dobro de pontos, menos 7, que a equipe B. Quantos pontos a equipe a marcou?
Resolução
4)Em um estacionamento há carros e motos, totalizando 85. O número de carros é igual a 4 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?
Resolução
5) Lúcia é 5 anos mais velha que Claúdia. A soma das idades de ambas é 43 anos. Qual é a idade de Claúdia?
Resolução
6) Quando Pedro nasceu, Guilherme tinha 3 anos. Atualmente a soma das idades é 23 anos. Qual é a idade de Guilherme?
Resolução
7) O perímetro de um retângulo mede 92 cm, Quais são as medidas, sabendo-se que o comprimento tem 8 cm a mais que a largura?
8) César tem 15 lápis a mais que Beto, e José tem 12 lápis a menos que Beto. O total de lápis é 63. Quantos lápis tem Beto?
Resolução
9) A soma de dois números consecutivos é 31. Quais são esses números?
Resolução
10) A soma de dois números consecutivos é -63. Quais são esses números?
Resolução
11) ( FGV SEDUC 2016 PE) Sete amigas foram a um restaurante e dividiram a conta igualmente entre elas. Entretanto, Mônica esqueceu a carteira em casa e cada uma de suas seis amigas pagou R$ 7,25 a mais para cobrir a parte dela. O valor total da conta foi
11) ( FGV SEDUC 2016 PE) Sete amigas foram a um restaurante e dividiram a conta igualmente entre elas. Entretanto, Mônica esqueceu a carteira em casa e cada uma de suas seis amigas pagou R$ 7,25 a mais para cobrir a parte dela. O valor total da conta foi
(A R$ 261,10
(B R$ 298,20
(C R$ 304,50
(D R$ 326,20
(E R$ 332,50
(B R$ 298,20
(C R$ 304,50
(D R$ 326,20
(E R$ 332,50
12) ( FGV SEDUC 2016 PE) Certa calculadora possui a tecla K com a seguinte função: para cada número que está no visor da calculadora, a tecla K multiplica esse número por 2 e subtrai 1 unidade do resultado. Por exemplo, se o número 5 está no visor e a tecla K é apertada o visor passa a apresentar o número 9. O número N está no visor dessa calculadora, a tecla K é apertada duas vezes seguidas e o resultado obtido foi 777. A soma dos algarismos de N é
(a 9
(b 11
(c 12
(d 13
(e 15
Resolução
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quinta-feira, 16 de junho de 2016
EXERCÍCIOS DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
1) Resolva as dízimas periódicas simples.
a) 0,4444...
b) 0,121212...
c) 0,125125125...
d) 5,531531531...
Resolução
a) 0,4444...
b) 0,121212...
c) 0,125125125...
d) 5,531531531...
Resolução
quarta-feira, 15 de junho de 2016
EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE
1) Para ganhar um premio da Mega Sena, um apostador precisa acertar 6 números entre os 60 possíveis. calcule essa probabilidade.
Resolução
2) Em uma sala de crianças, há 6 meninos a mais que meninas. Sorteando-se uma dessas crianças, a probabilidade que a sorteada seja menina é 2/5. Quantos meninos há nessa classe?
Resolução
3) Uma urna contém bolas coloridas. retirando-se uma bola dessa urna, a probabilidade de ser obter uma bola vermelha é 0,64. Qual á a probabilidade de ser obter uma bola que não seja vermelha?
Resolução
4) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?
Resolução
5) ( FUNCAB-2016) Uma caixa cheia de bolas contém 2 bolas vermelhas, 3 azuis e 4 brancas. Júlia retira 3 bolas da caixa, uma de cada vez e sem reposição, com os olhos vendados. Qual a probabilidades de que 3 sejam azuis?
a) 1/195
b) 3/4
c) 2/3
d)1/84
e)1/2
Resolução
6) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.
Resolução
7) (CONPASS-2014) Dois dados, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma é um número primo, é de:
a) 1/3
b) 4/9
c) 5/9
d) 1/9
e) 2/9
Resolução
8) (FGV 2016) Dos sete elementos do conjunto {-3,-2,-1,1,2,3,4} dois deles são sorteados de forma aleatória e independente. A probabilidade de o produto dos dois números sorteados ser menor do que zero é
a)5/7
b)4/7
c)3/7
d)2/7
e)1/7
Resolução
9) (CONPASS 2014) Cinquenta (50) pares de cartas são espalhados sobre uma mesa. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. A probabilidade dessas duas cartas serem iguais é
a) 1/99
b) 1/100
c) 1/50
d) 1/49
e) 2/99
Resolução
10) (CONPASS 2016) Em certa gincana participaram 300 alunos do Ensino Médio, sendo 120 do 1º ano, 95 do 2º ano e 85 do 3º ano. Sorteando um aluno da gincana, ao acaso, qual a probabilidade de ele ser do 2º ou do 3º ano?
a) 40%
b) 65 %
c) 70%
d) 60%
e) 55%
Resolução
11) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?
Resolução
12) Uma casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês da tentativa.
Resolução
14) (Cesgranrio 2010) Uma Urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis, e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é:
2) Em uma sala de crianças, há 6 meninos a mais que meninas. Sorteando-se uma dessas crianças, a probabilidade que a sorteada seja menina é 2/5. Quantos meninos há nessa classe?
Resolução
3) Uma urna contém bolas coloridas. retirando-se uma bola dessa urna, a probabilidade de ser obter uma bola vermelha é 0,64. Qual á a probabilidade de ser obter uma bola que não seja vermelha?
Resolução
4) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?
Resolução
5) ( FUNCAB-2016) Uma caixa cheia de bolas contém 2 bolas vermelhas, 3 azuis e 4 brancas. Júlia retira 3 bolas da caixa, uma de cada vez e sem reposição, com os olhos vendados. Qual a probabilidades de que 3 sejam azuis?
a) 1/195
b) 3/4
c) 2/3
d)1/84
e)1/2
Resolução
6) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.
Resolução
7) (CONPASS-2014) Dois dados, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma é um número primo, é de:
a) 1/3
b) 4/9
c) 5/9
d) 1/9
e) 2/9
Resolução
8) (FGV 2016) Dos sete elementos do conjunto {-3,-2,-1,1,2,3,4} dois deles são sorteados de forma aleatória e independente. A probabilidade de o produto dos dois números sorteados ser menor do que zero é
a)5/7
b)4/7
c)3/7
d)2/7
e)1/7
Resolução
9) (CONPASS 2014) Cinquenta (50) pares de cartas são espalhados sobre uma mesa. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. A probabilidade dessas duas cartas serem iguais é
a) 1/99
b) 1/100
c) 1/50
d) 1/49
e) 2/99
Resolução
10) (CONPASS 2016) Em certa gincana participaram 300 alunos do Ensino Médio, sendo 120 do 1º ano, 95 do 2º ano e 85 do 3º ano. Sorteando um aluno da gincana, ao acaso, qual a probabilidade de ele ser do 2º ou do 3º ano?
a) 40%
b) 65 %
c) 70%
d) 60%
e) 55%
Resolução
11) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?
Resolução
12) Uma casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês da tentativa.
Resolução
13) Antônio lança um dado sem que João veja. Antônio diz que o número mostrado pelo dado é par. Qual a probabilidade de João descobrir esses número?
14) (Cesgranrio 2010) Uma Urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis, e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é:
ESPAÇO AMOSTRAL
Em teoria das probabilidades, o espaço amostral ou espaço amostral universal, geralmente denotado S, E, Ω ou U (de "universo"), de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
Por exemplo, se o experimento é lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, o espaço amostral é o conjunto {cara,coroa}. Para o lançamento de um dado de seis faces, o espaço amostral é {1,2,3,4,5,6}.
Qualquer subconjunto de um espaço amostral é comumente chamado um evento, enquanto subconjuntos de um espaço amostral contendo apenas um único elemento são chamados de eventos elementares ou eventos atômicos.
Para alguns tipos de experimentos, podem existir dois ou mais espaços amostrais possíveis plausíveis. Por exemplo, quando retirado uma carta de um baralho de 52 cartas, uma possibilidade poderia ser o valor dela (Ás até o Rei), enquanto outra poderia ser o naipe (copa, ouro, espada ou paus).
Uma descrição completa dos resultados, entretanto, iria especificar ambas denominação e naipe, e um espaço amostral descrevendo cada carta individualmente pode ser construído através do produto cartesiano dos dois espaços amostrais citados.
Espaços amostrais aparecem naturalmente em uma introdução elementar a probabilidade, mas são também importante em espaços de probabilidade.
Um espaço de probabilidade (Ω, F, P) incorpora um espaço amostral de resultados, Ω, mas define um conjunto de eventos de interesse, a σ-algebra F, para o qual a medida de probabilidade P é definida.
Cardinalidade[editar | editar código-fo
A cardinalidade do espaço amostral é o número total de elementos no conjunto. O espaço amostral pode ter cardinalidade finita ou infinita.
Por exemplo, no caso do lançamento de um dado de seis faces, a cardinalidade do espaço amostral é 6.
No caso da escolha de um entre todos números reais, a cardinalidade é infinita.
A cardinalidade de um conjunto A pode ser representada por #A .
ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL
Uma dado foi lançado 1.000 vezes. O número de vezes que ocorreu cada face é chamado de frequência absoluta dessa face; a razão da frequência absoluta para o número de vezes que foi realizado o experimento é chamada de frequência relativa dessa face. A tabela a baixo descreve o que ocorreu nesses 1.000 lançamentos.
Observe que as frequências relativas são valores muito próximos um do outro. Se aumentássemos o número de lançamentos do dado para 2.000, 3.000, 10.000 etc.; as frequências relativas se aproximariam cada vez mais, tendendo a ficar iguais.Por isso, dizemos que o espaço amostral em um lançamento desse dado é equiprovável.
Um espaço amostral é equiprovável se as frequências relativas de seus elementos tendem a um mesmo valor quando o número de experimentos aumenta indefinitivamente.
ADIÇÃO DE PROBABILIDADE
Sejam A e B eventos de um espaço amostral E equiprovável, finito e não vazio.
A probabilidade de ocorrer um de A ou um elemento de B, indicado por P(A U B), é:
Justificativa:
Essa identidade é conhecida como teorema da adição de probabilidades.
O teorema da adição de probabilidade é aplicado na resolução de problemas que pedem a probabilidade de acorrer um evento A ou um evento B, pois o conectivo ou indica a união dos eventos.
PROBABILIDADE DEFINIÇÃO
Dicionário
Perspectiva favorável de que algo venha a ocorrer; possibilidade, chance.
A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou desconhecidos , sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, "chance", “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.
Tal como acontece com a teoria da mecânica, que atribui definições precisas a termos de uso diário, como trabalho e força, também a teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.
Em essência, existe um conjunto de regras matemáticas para manipular a probabilidade, listado no tópico "Formalização da probabilidade" abaixo. Existem outras regras para quantificar a incerteza, como a teoria de Dempster-Shafer e a lógica difusa (em inglês, fuzzy logic), mas estas são, em essência, diferentes e incompatíveis com as leis da probabilidade tal como são geralmente entendidas.
No entanto, está em curso um debate sobre a que, exatamente, se aplicam as regras; a este tópico chama-se interpretações da probabilidade.
A ideia geral da probabilidade é frequentemente dividida em dois conceitos relacionados: Probabilidade de frequência ou probabilidade aleatória, que representa uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito pode ser dividido em fenômenos físicos que são previsíveis através de informação suficiente e fenômenos que são essencialmente imprevisíveis.
Um exemplo para o primeiro tipo é uma roleta, e um exemplo para o segundo tipo é um decaimento radioativo.
Probabilidade epistemológica ou probabilidade Bayesiana, que representa nossas incertezas sobre proposições quando não se tem conhecimento completo das circunstâncias causativas. Tais proposições podem ser sobre eventos passados ou futuros, mas não precisam ser. Alguns exemplos de probabilidade epistemológica são designar uma probabilidade à proposição de que uma lei da Física proposta seja verdadeira, e determinar o quão "provável" é que um suspeito cometeu um crime, baseado nas provas apresentadas.
É uma questão aberta se a probabilidade aleatória é redutível à probabilidade epistemológica baseado na nossa inabilidade de predizer com precisão cada força que poderia afetar o rolar de um dado, ou se tais incertezas existem na natureza da própria realidade, particularmente em fenômenos quânticos governados pelo princípio da incerteza de Heisenberg.
Embora as mesmas regras matemáticas se apliquem não importando qual interpretação seja escolhida, a escolha tem grandes implicações pelo modo em que a probabilidade é usada para modelar o mundo real.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Entendemos por experimento aleatório os fenômenos que, quando repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. O lançamento de um dado e de uma moeda são considerados exemplos de experimentos aleatórios, no caso dos dados podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento da moeda, dois {cara, coroa}.
Do mesmo modo, se considerarmos uma urna com 50 bolas numeradas de 1 a 50, ao retirarmos uma bola não saberemos dizer qual o número sorteado. Essas situações envolvem resultados impossíveis de prever. Podemos relacionar esse tipo de experimento com situações cotidianas, por exemplo, não há como prever a vida útil de todos os aparelhos eletrônicos de um lote, pois isso dependerá das condições de uso impostas pelas pessoas que adquirirem o produto. Outro exemplo que demonstra a característica de um experimento aleatório são as previsões do tempo.
Os experimentos aleatórios produzem possíveis resultados que são denominados espaços amostrais. O espaço amostral possui subconjuntos denominados eventos. Como já citado anteriormente, temos que o número possível de elementos no lançamento de um dado é o seu espaço amostral, isto é, {1, 2, 3, 4, 5, 6} e os subconjuntos, os possíveis eventos são {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}. No caso da moeda, o espaço amostral são os dois possíveis resultados {cara e coroa} e os eventos são {(cara), (coroa)}.
As cartas também são ótimos exemplos utilizados nos estudos probabilísticos. Temos que o espaço amostral das cartas é constituído de 52 cartas, onde podemos ter vários eventos, dependendo da característica escolhida.
terça-feira, 14 de junho de 2016
quarta-feira, 8 de junho de 2016
PROBLEMAS DO 1ª GRAU NÍVEL 2
1) (FGV 2006) Duas máquinas P e Q, trabalhando juntas, fazem um trabalho em x horas. Trabalhando sozinha, P necessita de 6 horas adicionais para fazer o trabalho, e Q necessita de x horas adicionais. Quanto vale x?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Resolução
2) Uma torneira pode encher um tanque em 19 horas e outra pode encher o mesmo tanque em 12 horas. Se essa duas torneiras funcionassem juntas e, com elas, mais uma terceira torneira, o tanque ficaria cheio em 4 horas. Em quantas horas a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque?
2) Uma torneira pode encher um tanque em 19 horas e outra pode encher o mesmo tanque em 12 horas. Se essa duas torneiras funcionassem juntas e, com elas, mais uma terceira torneira, o tanque ficaria cheio em 4 horas. Em quantas horas a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque?
terça-feira, 7 de junho de 2016
EXERCÍCIOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO
1) (FGV 2006) O menor número inteiro positivo x para o qual o produto de x por 1260 é um cubo perfeito é:
a) 1050
b) 1260
c) 12602
d) 7350
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