Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número determinado de elementos. Por exemplo, a seqüência (3,6,12,24,48) é uma PG de razão igual a q = 2.
A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 +48 = 93.
Fazer essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula.
Demostração.
Demostração.
Para demonstrarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, considere a PG finita de n termos:
Seja Sn a soma dos n termos desta PG:
ou escrevendo-a de outra maneira:
Sabemos que se multiplicarmos ambos membros de uma igualdade por uma constante, esta igualdade continuará válida. Vamos multiplicar a igualdade (3) por uma constante de valor conveniente q:
Observando as relações (3) e (4), notamos que a parcela a1 só aparece em (3) e a parcela a1qn só aparece em (4). As demais parcelas são comuns entre as duas relações. Para que estas parcelas sejam eliminadas, subtraímos (3) de (4):
Podemos demonstrar (5) aplicando o princípio da indução finita:
Que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita em função de a1,an e q.
Podemos ainda transformar (6) para que esta esteja em função de a1, n e q:
Sabemos que:
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