Quando temos uma PG decrescente (0<q<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.
- Ué? Como assim?
Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razãoq=1/2:
Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo a12 que vale 1/512 passando para decimais vale quase 0,002, e o termo a13 é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.
Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.
Vamos fazer a dedução da fórmula começando com a fórmula da soma dos "n" primeiros termos:
 | Sabemos que a razão de uma PG infinita tem que ser 1<q<0 (no nosso exemplo, 1/2). Também sabemos que "n" significa a ordem do último termo(sexto, sétimo, oitavo, etc), que na nossa PG é ∞ (infinito), então com certeza é um número muito grande. Quanto você acha que vale 1/2 elevado a um expoente muito grande? |
Exemplo:
 | Veja que o denominador da fração é o 2 elevado a potência mil, ou seja, essa potência é muito grande, o que faz a divisão de 1 por esse número muito grande resultar um número extremamente pequeno, insignificante. Podemos dizer que é ZERO. E ao substituirmos na fórmula, a razão elevado na "n" (qn), por ZERO, temos: |
 | Chegamos em uma fórmula que é um tanto quanto "bonitinha". Mas para melhorá-la, vamos multiplicar "em cima" e "em baixo" da divisão por -1 |
 | Agora chegamos na fórmula final da soma dos termos de uma PG infinita. Tente resolver o exercício abaixo e depois veja a resolução. |
FONTE: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/progressoes/progressao_geometrica/progressao_geometrica_05_infinita_soma_dos_termos.php EM 05/05/2015
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