EXERCÍCIOS SEQUÊNCIA NUMÉRICA

1) (Cesgranrio B.B 2012) Uma sequencia numérica infinita (e1, e2, e3... en,..) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n²+6n. O quarto termo dessas sequencia é igual a:

a)19

b)13

c)17

d)32

e)40

Resolução

2) (BANESTES 2012) A senha do meu cofre é dada por uma sequência de seis números todos menores que 100, que obedece a determinada lógica. Esqueci o terceiro numero dessa sequência, mas lembro-me dos demais. São eles: {32, 27, __, 30, 38, 33}. Assim qual é o terceiro termo da sequência?

a)35

b)31

c)34

d)40

e)28

Resolução

3) Que número corresponde a sequência a seguir: 1, 3, 5, 7, 9, 11...

Resolução

4) Que número corresponde a sequência a seguir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...

Resolução

5) Que número corresponde a sequência a seguir: 1, 0, 2, 1, 3, 2...

Resolução

6) Que número corresponde a sequência a seguir: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19...

Resolução

7) Que número corresponde a sequência a seguir: 37, 31, 29, 23, 19, 17...

Resolução

8) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 2, 2, 4, 8, 32...

Resolução

9) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 2, 4, 7, 11...

Resolução

10) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 4, 9, 16...

Resolução

11) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 10, 100, 1000, 10000...

Resolução

12) Que numero corresponde a seqüência a seguir: 1000, 990, 970, 940, 900, 850...

Resolução

13) (FGV 2016) Considere a sequencia infinita IBGEGBIBGEGBIBGEB.....a 2016ª e 2017ª letras sessa sequência são, respectivamente.

a)BG

b)GE

c)EG

d)GB 

e)BI

Resolução

14) ( FGV 2013) A sequência de letras a seguir mantém o mesmo padrão de repetição inearjinearjinearj ..., a letra que ocupa a 555ª é:

a)n

b)e

c)a

d)r

e)j
Resolução

15) (TCE-CE/2015 - FCC) Observe a sequência (7; 5; 10; 8; 16; 14; 28; 26; 52; . . .). Considerando que a sequência continue com a mesma lei de formação, a diferença entre o 16ª e o 13ª termos dessa sequência, nessa ordem, é igual a:

a) 190

b) -2

c) 192

d) 290 

e) 576

Resolução

16) (AOCP) Na sequência de todos os números ímpares positivos, qual é o nono termo?
a) 9
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19

Resolução

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FÓRMULA DA SOMA DOS N TERMOS DE UMA P.G FINITA

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EXERCÍCIOS P.G FINITA

1) (Mack-SP) Seja x o 30ª termo da P.G. (2,4,8...). o valor de log de x na base 4 é:

 a)15 

 b)20 

 c)25 

 d)30 

 e)35

Resolução

2) Determine o 10ª termo da P.G (1/3,1,3,9).

Resolução

3) Em uma P.G, o 4ª termo é igual a 32 e o 1ª é igual a 1/2. Determine a razão da P.G e depois, obtenha seu 7ª termo.

Resolução

4) Qual é a fórmula do termo geral da P.G (3,9,...)

Resolução

5) Quantos elementos tem a P.G (8,32,...,2³²)

Resolução

6) Numa progressão geométrica, o segundo termo é -2 e o quinto termo é 16. A razão dessa progressão é:

Resolução

7) Em uma PG crescente, a soma do 3ª com o 5ª termo é 5/4 e a soma do 7ª com o 9ª termo é 20. Determine essa P.G.

Resolução

8) (UEL) A sequência (2x + 5, x + 1, x/2 ). , é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo termo dessa sequência é:

Resolução

9) ( ENEM 2016)Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é:

10) (FGV 2016 SEDUC PE) Considere o conjunto de números

A diferença entre o maior elemento desse conjunto e a soma dos demais elementos é 

A) 0

B) 1

C) 2

D) 22015 

E) –22015

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PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Definição: uma sequência numérica é chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se o quociente entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo antecessor for sempre o mesmo (constante). A essa constante dá-se o nome de razão da P.G. e é representada por q.

A sequência numérica abaixo é uma P.G. Vamos verificar?

(2, 10, 50, 250, ...)

Outros exemplos:

a) ( 3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma P.G. cuja razão é
q =2

b) ( -7, 14, -28, 56, ...) é uma P.G. de razão q = -2

c) (60, 30, 15, 15/2, ...) é uma P.G. de razão q =1/2

d) (10, -10, 10, -10, 10,...) é uma P.G. de razão q=-1

As Progressões Geométricas são classificadas de acordo com a razão q.

q < 0 → P.G. é alternada.

a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 → P.G. é crescente.

a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1 → P.G. é decrescente.

Determinando o termo geral da P.G.

Qualquer termo de uma P.G. pode ser determinado quando conhecemos o 1º termo (a1) e a razão (q). Observe o processo abaixo.

Generalizando, obtemos:

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SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A

Um professor, para manter seus alunos ocupados, mandou que somassem todos os números de um a cem. Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050. Como ele fez a conta tão rápido? Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99,também obtinha 101. Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101. Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050. E assim, ainda criança Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É por muitos considerado o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.

INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES

SOMANDO TODOS OS NÚMEROS DE 1 A 100

Vamos ver como Gauss percebeu rapidamente que a soma de todos os números de 1 a 100 resulta em 5.050. Para isso, vamos somar os termos de dois em dois, de uma forma bem especial. Veja:

1	+	100	=	101,
2	+	99	=	101,
3	+	98	=	101,
4	+	97	=	101,
			.
			.
			.
47	+	54	=	101,
48	+	53	=	101,
49	+	52	=	101,
50	+	51	=	101.

Nas somas acima, ocupando o lugar da primeira parcela temos todos os números de 1 a 50. No lugar da segunda parcela, temos todos os números de 51 a 100. São 50 somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número: 101. Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular 50 x 101 = 5050.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

A soma de todos os números de 1 a 100 é um caso particular de soma de uma progressão aritmética (PA). Uma PA é uma sucessão de números em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma. Por exemplo:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

é uma PA de razão 3 (a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a 3).

O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer PA. Vamos utilizá-lo para a PA acima:

5	+	26	=	31,
8	+	23	=	31,
11	+	20	=	31,
14	+	17	=	31.

Logo, a soma dos termos da PA dada é 4 x 31 = 124. 

A partir destas observações, vemos que para calcular a soma dos termos de qualquer PA basta somar o primeiro termo com o último e multiplicar por metade da quantidade de termos que tem a PA. Isto é, se:

a1 é o primeiro termo, an é o último termo e n é o número de termos da PA,

a soma de todos os termos da PA poderá ser calculada pela fórmula:

S = n (a1 + an)/2.

FONTE:http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosidadesmatematicas-html/audio-gauss-br.html   28/04/2016

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EXERCÍCIOS P. A

1) Três números cuja soma vale 15 formam uma Progressão Aritmética crescente. Adicionando 2 ao primeiro, 5 ao segundo e 13 ao terceiro, teremos uma Progressão Geométrica também crescente. O maior número dessas Progressão Geométrica vale:

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

Resolução

2) A sequência de números positivos (x, x+10, x²...) é uma P.A cujo décimo termo é:

a) 95 

b) 110 

c) 130 

d) 145 

e) 175

Resolução

3) A sequência (a1, a2, a3,..., a20) é uma progressão aritmética de 20 termos, na qual a8 + a9 = a5 + a3 + 189. A diferença entre o último e o primeiro termo dessa progressão, nessa ordem, é igual a.

a) 19 

b) 21 

c) 91 

d) 171 

e) 399

Resolução

4(UFRN) Numa progressão aritmética de termo geral An. Tem-se que

o primeiro termo dessa progressão é:

a) 6 

b) 5 

c) 4 

d)  3 

e)2

Resolução

5) (UFMG) Em um triângulo retângulo, de perímetro 36, os lados estão em progressão aritmética. Determine a razão da progressão aritmética e os lados dos triângulos.

Resolução

6) Considerando a P.A (m-7) m, (2m+1), determine m.

Resolução

7) Numa P.A o sétimo, oitavo e o nono termo são, respectivamente 5,x+5 e x-1 podemos dizer que o primeiro termo dessa razão é:

Resolução

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EXERCÍCIOS SOMA DOS TERMOS P.A

1) (FGV) Um atleta corre 500 metros a mais do que no dia anterior: Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros, o números de metros percorridos no 3º dia foi:

a) 1000

b) 1500

c) 2000

d) 2500

e) 2600

Resolução

2) (Fatec-SP) Em uma progressão aritmética, a soma do 3ª termo com o 7ª termo vale 30, e a soma dos 12 primeiros termos vale 216. A razão da PA é:

a) 0,5

b) 1

c) 1,5

d) 2

e) 2,5

Resolução

3) (Mac- SP) Numa progressão aritmética onde a9+a37 = 94. A soma dos 45 primeiros termos é:

a) 2092

b) 2115

c) 2025

d) 2215

e) 2325

Resolução

4) (PUC/RJ 2008) A soma de todos os números naturais ímpares de 3 algarismos é:

a) 220.000

b) 247.500

c) 277.500

d) 450.000

e) 495.000

Resolução

5) (PUC/RJ 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

a) 20

b) 21

c) 22

d) 23

e) 24

Resolução

6) Um teatro possui 51 fileiras de poltronas. Na primeira fileira existem 13 poltronas, na segunda 17, na terceira 21 e assim por diante. Mantendo-se esse padrão no número de poltronas por fileira, podemos dizer que esse teatro possui assento para:

a) 5733 Pessoas

b) 5743 Pessoas

c) 5753 Pessoas

d) 5763 Pessoas

Resolução

7) Determine o número de termos de uma P.A finita sendo que sua soma é 10, o primeiro termo é -10 e o último é 14.

Resolução

8) Numa P.A., a soma de todos os termos é 3n - 7. Sabe-se que a soma do primeiro e do ultimo termo é 5. Quantos termos tem a P.A?

Resolução

9) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula . Então, a soma do quarto termo com o sexto termo dessa progressão aritmética é:

a) 25

b) 31

c) 28

d) 34

e) 37

Resolução

10) (FGV-SP) a soma do 4° e 8° termos de uma PA é 20 e o 31° termo é igual ao dobro do 16° termo. Determine o 1° termo dessa PA.

Resolução

11) Qual é o resultado da soma 1+2+3+....+98+99+100?

Resolução

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. 

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. 

a1 = 5 

a2 = 5 + 2 = 7 

a3 = 7 + 2 = 9 

a4 = 9 + 2 = 11 

a5 = 11 + 2 = 13 

a6 = 13 + 2 = 15 

a7 = 15 + 2 = 17 

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente. 

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. 

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais. 

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Fonte http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm

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TERMO GERAL DA P.G

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RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão

É o quociente entre dois números não nulos ou quociente entre duas grandezas variáveis. 

Quando escrevemos dois números na forma de a/b com b ≠ 0 ; dizemos que temos uma razão entre eles. 

Ao escrever estamos escrevendo a razão entre 3 e 2, onde a parte de cima é chamada de antecedente e a de baixo de consequente.

As razões 2/5, 4/10 são chamadas de razões equivalentes porque representam o mesmo valor. e 2/5 é chamada de forma irredutível porque é a forma mais simplificada possível de se escrever essa razão.

Ainda vale lembrar que duas razões dizem-se inversas quando o antecedente de uma forma for igual ao consequente da outra e vise-versa. Nesse caso, o produto de ambas é igual à unidade 

Ex:

Proporção

Chamamos proporção à sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões. equivalentes damos o nome de proporção.

Quando escrevemos estamos escrevendo uma proporção que lê-se: 2 está para 5 assim como 4 está para 10.

O primeiro e o último termos são chamados de extremos da proporção (2 e 10 são os extremos).

O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da proporção (5 e 4 são os meios).

Ao último termo de uma proporção chamamos de quarta proporcional (no exemplo anterior 10 é a quarta proporcional).

Quando o segundo e o terceiro termos são iguais chamamos de proporção contínua.

é uma proporção contínua, e nesse caso o último termo (8) é chamado de terceira proporcional.

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa

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Montante

Montante é o capital resultante da soma do capital inicial e do juro aplicado ao fim do período financeiro. Assim:     M = c + j

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EXERCÍCIOS RAZÃO E PROPORÇÃO

 1) (ESCRITURÁRIO BB 2015) Aldo, Baldo e Caldo resolvem fazer um bolão para um concurso da mega - sena. Aldo contribui com 12 bilhetes, Baldo, com 15 bilhetes e Caldo com 9 bilhetes. Eles combinaram que, se um dos bilhetes do bolão fosse sorteado, o prêmio seria dividido entre os três proporcionalmente a quantidade com que cada um contribuiu. Caldo também fez uma aposta fora do bolão e, na data do sorteio, houve 2 bilhetes ganhadores, sendo um deles o da aposta individual de Caldo, e o outro, um dos bilhetes do bolão. Qual a razão entre a quantidade total que Caldo recebeu e a quantidade que Baldo recebeu?

Resolução

2) Sabendo que a está para b assim como 8 está para 5 e que 3a-2b=140, é correto afirma que a+b é menor que 200.

Resolução

3) Sabendo que dois números positivos estão entre si assim como 3 esta para 4 e que a soma dos seus quadrados é igual a 100, então é correto afirma que o maior deles é inferior a 10.

Resolução

4) Dois números positivos na proporção de 4 para 5 são tais que o segundo supera o primeiro em 30 unidades. É correto afirma que o maior deles é inferior a 140

Resolução

5) A capacidade de um elevador é de 20 adultos ou 24 crianças, se 15 adultos já estão no elevador, o número de crianças que ainda podem entrar no elevador é superior a 5.

Resolução

6) Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu 450,00 R$ a mais que a outra, sabendo que elas estão na razão de 4 para 9. É correto afirma que a pessoa que ganhou menos recebeu mais de 400,00 R$.

Resolução

7) Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja capacidade é de 200 litros, estava cheio de água, entretanto um furo na base desse tanque fez com que a água escoasse a uma vazão constante. Se às 14 horas de mesmo dia o tanque estava com apenas 1760 litros, então a água em seu interior se reduziu a metade ás:

a)21 horas do mesmo dia 

b)23 horas do mesmo dia

c)4 horas do dia seguinte 

d) 8 horas do dia seguinte

e)9 horas do dia seguinte

Resolução

8) A razão entre (3-x) e 8 é a mesma que x e 6. O valor de x é.

a)27/7

b)8/7 

c)27/14 

d)9/7 

e)9/14

Resolução

9) (FGV)Em uma sacola há bolas brancas e bolas pretas. Do total, 2/5 das bolas são brancas e as demais são pretas. Se triplicarmos o número de bolas brancas e dobrarmos o número de bolas pretas, a razão entre o número de bolas brancas e o número total. 

a)½ 

b)1/3 

c)2/3 

d) 3/5 

e) 4/5

Resolução

10) (Funesp 2012) Observe a sequência de quadrados, em que a medida do lado de cada quadrado, a partir do segundo, é igual à metade da medida do lado do quadrado imediatamente anterior.

Nessas condições, é correto afirmar que a razão entre a área do 3.º quadrado e a área do 2.º quadrado, nessa ordem, é.

a)1/4 

b)1/12 

c)1/10 

d)1/8 

e)1/2

Resolução

11) (Funesp 2013) Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e o número de alunos que chegaram no horário, nessa ordem, foi de.

a)2/3 

b)1/3 

c)1/6 

d)3/4 

e)2/5

Resolução

12) Se , calcule o valor de x e de y. 

Resolução

13) (FGV 2006) Em uma escola, a razão do número de estudantes que usam óculos para o dos que não usam é 9/11. Nessa escola, qual é a porcentagem dos estudantes que usam óculos?

a) 45% 

b) 55% 

c) 66% 

d) 77% 

e) 82% 

Resolução

14) Os números 15,17,21, e 25 são respectivamente diretamente proporcionais aos números x, y, z e 275. Quais são os valores de x,y e z?
Resolução

15) calcular a e b na proporção 12/a = 10/b sendo a+b=330.

Resolução

16) (COMPERVE 2015) A casa de Marlene será pintada internamente. A cor da pintura foi definida da seguinte forma:a cada 3 latas de tinta branca, misturam-se 4 latas de tinta de cor marfim. O pintor calculou que será necessário comprar 21 latas de tinta. Nestas condições, as quantidades de latas de tinta branca e de tinta marfim serão, respectivamente,
a) 10 e 11
b) 12 e 09
c) 09 e 12
d) 11 e 10

Resolução

17) Considerando 4 números naturais consecutivos. Se o maior deles está para o menor, assim como 12 está para 11. O produto destes números é igual a

a) 303.600

b) 1.113.024

c) 1.413.720

d) 1.585.080

Resolução

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